Title：Embedded Deformation for Shape Manipulation
Paper: www.graphics.ethz.ch/~sumnerb/research/embdef/Sumner2007EDF.pdf
Code: https://github.com/hwdong/deformation_graph (非作者提供)
介绍
这篇论文主要讲的是用embedded deformation graph 来表示三维模型表面的变形。主要分为三步：
- 建立变形图（Deformation Graph）
- 对一些点进行变形（例如用户拖拽了一些点）
- 已变形点会对未变形点产生作用，根据这种作用对未变形点进行变形
模型
作者认为模型的变形可以认为是有一组仿射变换表示。因此作者对模型表面进行采样，（一般为均匀采样），将采样的点建立一个图G。
例如模型的表面有10000个点，反复地在点附近删除一定半径内的所有点，直至达到期望的采样密度，最后得到500个点，这些点都由边相连。每个点都有两个属性：时间、仿射变换。也就是说每个时刻，每个点都有自己对应的仿射变换。下面我们对某一个时刻进行分析：
对于图上的某个节点来说, $g_j \in R^3$是它此刻的三维坐标，$N(j)$是与它有边相连的点的集合即相邻点集合，该点对应的仿射变换由$R_j$这个$3\times 3$矩阵和$t_j$这个$3 \times 1$ 这个向量组成。
当$g_j$发生变形了后，比如用户给他拽到了某个位置后，其他的点就会被它连着动起来。其他点受$g_j$的影响得到的新坐标如下：
这个公式表示的是未变形点受到一个变形点的影响。注意，当$p$就是$g_j$时，计算出来的$g_j +t_j$就是$g_j$的新位置。
当然，变形点可能不止一个，当受到多个变形点影响时，可以对他们加权：
权重和点之间的距离有关，越远的点施加的影响就越小:
其中 $d_{max}$表示$v_i$到第$k+1$近的点的距离，这样可以控制只受最近$k$个点影响。
例如，$v_i$的邻点与$v_i$的距离分别为2,3,4,7,11,15,…。当我们取$k=4$时，$d_{max}=9$，
此时我们只计算前四个点对$v_i$的影响，过远的点我们就不考虑了。
优化
论文提出了三个约束：$E_{rot},E_{reg},E_{con}$。
作者认为为了保证细节，仿射变换的$R$，必须尽量是旋转矩阵。要使$R$是旋转矩阵，则必须满足$SO(3)$（旋转群），也就是六个条件：三个列必须两两正交，三个列必须都是单位长度：
上式中的$c_1,c_2,c_3$分别是$R$的三个列向量。所以旋转项的约束$E_{rot}$:
接下来第二项约束的是点的联动。作者想要优化的是点自己的真实坐标，和通过其他点计算得到的坐标应该是一致的：
最后一个约束表示的是计算出来的点的坐标要符合用户的要求，比如用户把一个点$p$拽到了位置$A$，那么你的模型计算出来的$p$的位置必须也是$A$:
上式中，$l=1,2,..p$是用户的约束，$q_l$是用户约束下的位置，$index(l)$是约束$l$对应的顶点的索引，所以$v’_{index(l)}$就是通过我们模型计算得到的坐标，它和用户约束给定的位置应该是一致的。
最后问题就可以写成：
其中三个权重作者取值为$w_{rot}=1,w_{reg}=10,w_{con}=100$。
上述问题使用高斯牛顿法来求解，这个就不介绍了。